{"id":168,"date":"2021-12-19T18:23:55","date_gmt":"2021-12-19T17:23:55","guid":{"rendered":"http:\/\/www.reveeveille.net\/musiqueverte\/?p=168"},"modified":"2021-12-19T18:23:57","modified_gmt":"2021-12-19T17:23:57","slug":"calculer-les-longueurs-des-tubes-dune-flute-de-pan","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.reveeveille.net\/musiqueverte\/calculer-les-longueurs-des-tubes-dune-flute-de-pan\/","title":{"rendered":"Calculer les longueurs des tubes d’une fl\u00fbte de pan"},"content":{"rendered":"\n

Il y a un principe math\u00e9matique simple cach\u00e9 derri\u00e8re la longueur des tubes d’une fl\u00fbte de pan, et de tous les instruments qui font intervenir une \u00ab\u00a0longueur vibrante\u00a0\u00bb (piano, instruments \u00e0 cordes…). C’est le nombre \u00ab\u00a0racine douzi\u00e8me de deux\u00a0\u00bb. Voyons cela de plus pr\u00e8s… (je vous conseille de prendre un crayon et une feuille… mais vous allez voir, \u00e7a va bien se passer !)<\/p>\n\n\n\n

Sur tous ces instruments, si une longueur l (de corde, de tube, etc…) produit la note n, la longueur l\/2 produira la m\u00eame note n \u00e0 l’octave sup\u00e9rieure<\/b>. Exemple : si une corde de guitare de 1 m de long donne un mi, la m\u00eame corde de guitare de 50 cm, avec la m\u00eame tension, donnera un mi \u00e0 l’octave sup\u00e9rieure. Si vous jouez de la guitare, v\u00e9rifiez-le : faites sonner le mi grave. Puis mesurez la position du milieu exact de la corde (vous constaterez que ce point co\u00efncide avec la position de la frette sup\u00e9rieure de la douzi\u00e8me case). Posez votre doigt sur cette case (ce qui a l’effet de raccourcir la corde \u00e0 sa demi longueur) et faites sonner la corde : elle produit un mi \u00e0 l’octave sup\u00e9rieure ! La m\u00eame corde de guitare, de 2 m\u00e8tres de long, donnerait (si elle existait) un mi \u00e0 l’octave inf\u00e9rieure.<\/p>\n\n\n\n

La fl\u00fbte de pan n’\u00e9chappe pas \u00e0 ce principe. Si vous avez une fl\u00fbte entre les mains, v\u00e9rifiez par vous m\u00eame : prenez le tube le plus long et mesurez-le. Cherchez le tube de votre fl\u00fbte de pan qui mesure exactement la moiti\u00e9 de cette longueur et soufflez dedans : il produit la m\u00eame note, \u00e0 l’octave sup\u00e9rieure.<\/p>\n\n\n\n

Partant de cette constatation universelle, on peut tirer une r\u00e8gle math\u00e9matique simple permettant de calculer la longueur des tubes d’une fl\u00fbte de pan, d’une octave \u00e0 l’autre. Pour cela : partir du tuyau le plus grave, et diviser sa longueur par 2, on obtient l’octave suivante. Recommencer sur autant d’octaves que souhait\u00e9. Cette r\u00e8gle math\u00e9matique s’appelle une \u00ab\u00a0progression g\u00e9om\u00e9trique de raison 1\/2\u00a0\u00bb (ou 0,5, ce qui est la m\u00eame chose).<\/p>\n\n\n\n

Ya pas, on est plus savants comme \u00e7a.<\/p>\n\n\n\n

Sur 4 octaves, les tubes d’une fl\u00fbte de pan produisant la note de m\u00eame nom mesureraient par exemple : 40 cm, 20 cm, 10 cm, 5 cm. On remarque que, comme toute progression g\u00e9om\u00e9trique, le dessin trac\u00e9 par les extr\u00e9mit\u00e9s inf\u00e9rieures des tubes de la fl\u00fbte ne forme pas une droite, mais une courbe dont la pente diminue lorsque l’on se dirige vers les aigus, qui s’appelle une parabole dans le langage math\u00e9matique.<\/p>\n\n\n\n

\"\"\/<\/figure><\/div>\n\n\n\n

A partir de cette r\u00e8gle de l’octave, comment am\u00e9liorer le principe de calcul pour nous permette de calculer non seulement les longueurs des tubes d’octave, mais aussi la longueur des 11 tubes interm\u00e9diaires (car nos gammes occidentales comptent 12 degr\u00e9s, voir l’encadr\u00e9 ci-dessous) ?<\/p>\n\n\n\n

Pourquoi 12 degr\u00e9s dans une octave ?<\/h2>\n\n\n\n

Dans nos soci\u00e9t\u00e9s occidentales, on a pris l’habitude de diviser une octave en 12 intervalles. C’est comme \u00e7a, on y est habitu\u00e9s, tout autre d\u00e9coupage sonne \u00ab\u00a0bizarre\u00a0\u00bb \u00e0 nos oreilles format\u00e9es par des si\u00e8cles d’\u00e9coute. Ces intervalles sont appel\u00e9s des \u00ab\u00a0demi-tons\u00a0\u00bb. On les retrouve sur tous les instruments. Jetez un coup d\u2019\u0153il \u00e0 un piano : d’un do \u00e0 l’autre il y a 7 touches blanches, et 5 touches noires, \u00e7a fait 12. Sur une guitare, il y a 12 cases pour arriver \u00e0 l’octave \u00e0 mi longueur du manche…<\/p>\n\n\n\n

Pourtant, dans une octave de fl\u00fbte de pan, sauf cas particuliers rares (mais sans doute de plus en plus fr\u00e9quent dans l’avenir) il n’y a g\u00e9n\u00e9ralement que 7 tubes. Pourquoi ? Parce que la plupart des fl\u00fbtes de pan actuelles sont \u00ab\u00a0diatoniques\u00a0\u00bb. Pour jouer des airs d’origine traditionnelle, il n’y a souvent pas besoin des touches noires du piano, on peut se contenter des touches blanches. La fl\u00fbte de pan n’a donc \u00ab\u00a0que des touches blanches\u00a0\u00bb. Mais on pourrait (et \u00e7a commence \u00e0 se faire) rajouter les 5 touches noires entre les touches blanches aux endroits ad\u00e9quats…<\/p>\n\n\n\n

Supposons qu’il existe une loi math\u00e9matique permettant de trouver successivement la longueur de tous les tubes suivantes \u00e0 partir de la longueur d’un premier tube. Ce serait une progression g\u00e9om\u00e9trique, de m\u00eame nature que celle qu’on vient de voir pour le calcul des octaves, mais de \u00ab\u00a0raison\u00a0\u00bb diff\u00e9rente. Essayons de calculer cette raison. Appelons-la r.<\/p>\n\n\n\n

Ce nombre r devra pr\u00e9senter les deux propri\u00e9t\u00e9s suivantes :<\/p>\n\n\n\n

  • Lorsqu’on multiplie la longueur d’un tube par r, cela nous donne la longueur du tube suivant<\/li>
  • Lorsque l’on r\u00e9p\u00e8te 12 fois la man\u0153uvre, la longueur du 13\u00e8me tube (c’est \u00e0 dire le premier tube de l’octave suivante) est \u00e9gale \u00e0 la moiti\u00e9 de la longueur du 1er tube.<\/li><\/ul>\n\n\n\n

    Posons tout cela en termes math\u00e9matiques : si l1<\/sub> est la longueur du premier tube, l2<\/sub> la longueur du second tube… l13<\/sub> la longueur du 13\u00e8me<\/sup> tube, r doit \u00eatre tel que :<\/p>\n\n\n\n

    (1) l1 <\/sub>. r = l2<\/sub>,      l2<\/sub> . r = l3   <\/sub>…    et enfin l12<\/sub> . r = l13<\/sub><\/p>\n\n\n\n

    et<\/p>\n\n\n\n

    (2) l13<\/sub> = l1<\/sub> \/ 2<\/p>\n\n\n\n

    Dans la suite d’expressions (1), rempla\u00e7ons \u00e0 chaque fois les diff\u00e9rentes valeurs de r par leur d\u00e9veloppement : si l1<\/sub> . r = l2<\/sub> et l2<\/sub> . r = l3<\/sub>, alors l1<\/sub> . r . r = l3<\/sub>. Oui, mais comme l3<\/sub> . r = l4<\/sub>, alors l1 . r . r . r = l4<\/sub>. On r\u00e9p\u00e8te le proc\u00e9d\u00e9 12 fois de suites jusqu’\u00e0 l13<\/sub> et on arrive \u00e0 :<\/p>\n\n\n\n

    l1<\/sub> . r . r . r . r . r . r . r . r . r . r . r . r = l13<\/sub>                ce qui donne<\/p>\n\n\n\n

    l1<\/sub> . r12<\/sup>= l13<\/sub>           ou<\/p>\n\n\n\n

    r12 <\/sup>= l13<\/sub> \/ l1<\/sub>     et avec (2)<\/p>\n\n\n\n

    r12 <\/sup>= l1<\/sub> \/ (l1<\/sub> * 2)    l1<\/sub> s’\u00e9limine, il reste<\/p>\n\n\n\n

    r12 <\/sup>= 1\/2<\/p>\n\n\n\n

    r = 1 \/ V12<\/sup>2<\/p>\n\n\n\n

    En fran\u00e7ais : r est l’inverse de la racine douzi\u00e8me de 2<\/b>. Ce nombre vaut 0,94387431. Il sert \u00e0 calculer les longueurs successives de tubes de longueurs d\u00e9croissantes, c’est \u00e0 dire en partant du plus grand pour aller vers le plus petit.<\/p>\n\n\n\n

    Pour calculer les longueurs de tubes dans l’autre sens, on utilise V12<\/sup>2, la racine douzi\u00e8me de 2<\/b>. C’est le nombre magique de calcul des longueurs vibrantes en musique !<\/p>\n\n\n\n

    Gr\u00e2ce \u00e0 ce nombre, il vous suffit donc de conna\u00eetre la longueur d’un seul tube (ou de la longueur \u00e0 vide de la guitare) pour calculer la longueur de tous les autres tubes (ou la position des frettes successives de la guitare…)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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